Entendiendo una función de transferencia

Cuando vemos por primera vez una función de transferencia parece que estuviéramos frente a caracteres chinos, y es que la parte matemática

Primero veamos una definición presente en el libro de Ogata.

La función de transferencia de un sistema descrito (entiéndase sistema como un conjunto de elementos relacionados entre si para ejecutar un objetivo) mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo (entiéndase como una recta constante en un plano cartesiano que no cambia en el tiempo) es:

El cociente (resultado de una división) entre la transformada de Laplace de salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.¹

veamos este sistema lineal e invariante en el tiempo representado mediante una ecuación diferencial:

a_0y^{\left(n\right)}+a_1y^{\left(n-1\right)}+...+a_{n-1}\dot{y}+a_ny\:=\:b_0x^{\left(m\right)}+b_1x^{\left(m-1\right)}+...+b_{m-1}\dot{x}+b_mx\:\left(n\ge m\right): \raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {1}}  }

Donde (y) es la salida del sistema y (x) es la entrada, a ver pero vimos todos estos números, formulas y cosas así pero no te asustes te describo las demás letras, (a) es una constante cualquiera u número, una cosa así que no nos desconcentramos, la letra (n) nos indica sobre el orden del sistema, (así hay sistemas de primer orden, de segundo orden y de orden n-ésimo ), tomando en cuenta que la n siempre estará en el denominador y (m) quién seria el orden la entrada.

y es que tiene sentido porque cuando hacemos las operaciones es el denominador con el que más nos centramos. al final cuando veremos una función de transferencia veremos algo más o menos así.

Funciones\:de\:transferencia = G(s) = \frac{L\left[salida\right]}{L\left[entrada\right]} \Longrightarrow \:condiciones\:iniciales = 0\:\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {2}}  }

Si prestas atención a la ecuación número 2 las condiciones de entrada y salida al sistema suponen que las condiciones iniciales son iguales a cero. así mismo que a la función de transferencia la llamaremos G(s).

\frac{Y\left(s\right)}{X\left(s\right)}=\frac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+...+b_{m-1}s+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+..+a_{n-1}s+a_n} \: \raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {3}}  }

En la ecuación numero 3 tenemos la expresión final de una función de transferencia, ahora es posible representar la dinámica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en términos de s.

A continuación tenemos el modelo de un sistema Resorte-Masa-Amortiguador.²

m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=f \:.\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {4}}  }

La ecuación número 4 fue el modelo del sistema, ahora veremos la función de trasferencia de ese sistema (Resorte-Masa-Amortiguador).

\frac{X\left(s\right)}{\:F\left(s\right)}=\frac{1}{ms^2+bs+k} \:\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {5}}  }

En la ecuación 5 la f del numerador en la ecuación 4 pasó a ser representada en 1, y el denominador de la misma ecuación es de segundo orden por lo que existe el 2 como superíndice de la s y es el más alto de todo el denominador.

Los ceros son las raíces del denominador y los polos son las raíces del denominador.

Esto significa que la función de transferencia quedaría de esta forma.

G\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{\:X\left(s\right)}\Longrightarrow\frac{Y\left(s\right)\longrightarrow0 \: ceros}{X\left(s\right)\longrightarrow0\: polos}\:\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {6}} \: las flechas a los ceros indican condición inicial }

para determinar la complicidad de los polos y ceros en una función estable o inestable primero de debe entender esto último. Un sistema estable puede ser representado como una función que tiende a un estado estacionario, busca el equilibrio aún cuando sus valores están variando en el tiempo estos mantienen una cota o limite que no diverge (que no se apartan) por otro lado un sistema inestable tiende a divergir comienza en un estado estacionario o equilibrado y termina en un caos infinito.

Y\left(s\right)=0\:\longrightarrow Ceros\: \\.\\ \raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {7}} } \\.\\ G\left(s\right)=\frac{0}{X\left(s\right)}\: ,G\left(s\right)\longrightarrow0 

X\left(s\right)=0\:\longrightarrow Polos\: \\.\\ \raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {8}} } \\.\\ G\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{0}\:, G\left(s\right)\longrightarrow \infty 

Ahora observemos el diagrama de bloques en la figura 1, y también miremos la ecuación , razonemos que, si G(s) apunta a ser aproximadamente cero, entonces cuando se ingrese una señal esta tenderá a anularse, por otro lado si miramos la ecuación 8 G(s) tiende a crecer hasta el infinito, y más allá. es por ello que los polos son quienes realmente aportan al estudio de la estabilidad del sistema, los ceros no.

1. OGATA, K. (1998). INGENIERIA DE CONTROL MODERNA (3a. ed.). MADRID: PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA. ↩︎
2. Video de Función de Transferencia, Polos y Ceros, Plano Complejo y Estabilidad, Cortesía del canal Sistemas Dinámicos y Control ↩︎